Kendall et Markov
Comme il était largement plus que temps d’élever les débats, ce matin, pour changer un peu, je voudrais vous parler de deux personnes dont j’ai récemment fait connaissance. Ce ne sont pas à proprement parler d’amis et encore moins des personnages de ce blog. Ça m’étonnerait fort qu’ils le deviennent, ni l’un, ni l’autre. D’ailleurs, Le premier, Andrei Markov est mort en 19232, c’est vous dire si ça va être un peu délicat qu’on se rencontre dans la vraie vie et comme je ne crois pas à l’au-delà… Le second, c’est David George Kendall, mort en 2007 et donc, là encore, je ne suis pas sûr qu’il accepte que nous puissions passer un moment ensemble. Est-ce un regret pour moi ? Bien sûr que non, heureusement. Si j’étais malheureux de ne pas avoir pu rencontrer tous les gens qui me fascinent, je n’aurais pas assez d’une vie pour pleurer.
David George, que je me permettrais d’appeler Dadjo (il ne m’a pas dit que ça ne lui plaisait pas, alors…), c’est l’inventeur de la théorie des files d’attente et quand j’ai appris ça, autant vous dire que ça m’a fait grimper aux rideaux. La théorie des files d’attente (la notation de Kendall), comment vous dire ? En gros, c’est une suite de six symboles : a/s/C/K/m/Z. Le petit a étant la loi de probabilité des instants d’arrivées. Le petit S, la loi de probabilité de la durée de service (comme au guichet, par exemple.) Le grand C indique le nombre de serveurs (guichets, caisses…) Le grand K correspond à la capacité totale du système (nombre de serveurs + le nombre de places d’attente.) Le petit m indique la population totale de clients. Et le grand Z, la discipline de service (genre : premier arrivé, premier servi.) et à partir là, il y a tant de combinaisons possibles.
Pour Andrei, les choses sont un peu plus compliquées : si on lance en l’air une pièce de monnaie, on obtient autant de chances de la voir tomber sur pile que sur face. Et plus on va lancer, plus cette loi s’applique, celle des grands nombres. Mais comme les lancers sont indépendants, la fréquence empirique de réalisation de l’événement va tendre vers une probabilité théorique de la réalisation de ce dernier. Et peut-on étendre cette loi à une suite d’expériences aléatoires qui dépendant les unes des autres ? Andrei a dit oui en 1902 en introduisant ce qu’on appelle les chaînes de Markov, qu’on peut appliquer à la notation de Kendall. Quand on pense que ces deux-là n’ont pas pu se rencontrer (Dadjo avait 4 ans quand Andrei est mort !), on peut imaginer comment ça aurait été passionnant de les voir à l’œuvre tous les deux, ensemble. Et là, j’ai des regrets.
P.S. : j’aurais pu aussi parler de la loi de Little (qui dit que le nombre de clients dans une file d'attente est égal au taux d'arrivée moyen des clients multiplié par le temps de traitement) mais là, je maîtrise nettement moins le sujet. Et je ne connais pas son inventeur, John Little.
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