C’est fou comme parfois, on découvre des choses extraordinaires dans ce qu’on côtoie au quotidien et qui nous est tellement habituel que c’en est devenu banal. Des choses qui passent inaperçues alors qu’on si on prend le temps de se pencher dessus, on va de surprise en surprise.

Tiens, par exemple, nous sommes le douze novembre et il fait un brouillard comme si nous étions un onze novembre. Il faut reconnaître que ça se joue à peu de choses… Mais le douze novembre, si on le regarde de très près, au microscope, par exemple, on y voit un gros douze et si on agrandit encore un peu l’image, que voit-on dans ce douze qu’on a sous nos yeux ?

On croit que c’est un nombre banal, douze mais en réalité, c’est un nombre qui a de multiples facettes. Déjà, c’est un nombre composé. Ça signifie que c’est un entier naturel qui possède au moins trois diviseurs positifs distincts dont 1 et lui-même. Par définition, chaque entier plus grand que 1 est soit un nombre premier soit un nombre composé. Quand on sait ça, on commence déjà à être un peu plus admiratif devant le 12. Mais ce n’est pas fini, non, voyez ce qui suit.

En plus d’être composé, douze est hautement composé. Ça signifie que c’est un entier strictement positif qui a exactement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent. Ces nombres ont été définis en 1915 par Ramanujan, qui ne devait pas être sur le front sinon, aurait-il eu le temps de créer sa grille de nombres. Mais ça, ça ne nous regarde pas, ce qu’il a fait pendant la première guerre mondiale.

Il faut savoir aussi que les nombres hautement composés peuvent être appelés nombres ploutons (de Ploutos, dieu grec de la richesse) à ne pas confondre avec les nombres gloutons, ceux qui mangent les autres (les plus petits qu’eux, évidemment) et Plouton, le chien de Mickey car, lui, Plouton, il ne savait pas compter jusqu’à douze.

Douze est également un nombre pratique. D’abord, parce qu’il sert à compter les œufs frais qu’on met dans des barquettes et ensuite (voire enfin) parce que, en arithmétique, un entier strictement positif n est dit pratique ou panarithmique si tout entier compris entre 1 et n est somme de certains diviseurs (distincts) de n.

Pour être plus clair, si on reprend notre ami, le nombre 12 : il est divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et12. Or 5 = 3 + 2, 7 = 4 + 3, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 4 et 11 = 6 + 3 + 2. Ça démontre bien que 12 est un nombre pratique. Alors, merci Fibonacci qui a aidé à faire comprendre tout ça car il a utilisé les nombres pratiques pour représenter les nombres rationnels par des fractions égyptiennes. En gros, sans définir formellement les nombres pratiques, il a donné une table de développements en fractions égyptiennes pour les fractions dont le dénominateur est pratique. Fastoche, je trouve, non ?

Cela dit, ce n’est pas Fibonacci qui les a baptisés ainsi, les nombres pratiques. Non, il me semble que c’est plutôt (plouton ?) Srinivasan en 1948 et c’est Stewart et Sierpinski qui ont achevé son travail. Rendons à César Srinivasan ce qui appartient à César Srinivasan.

En mathématiques récréatives, douze est aussi un nombre Harshad, un nombre de Niven ou un nombre multinumérique. En gros, ça veut dire que c’est un entier naturel qui est divisible par la somme  de ses chiffres dans une base donnée. Harshad, en sanskrit, ça signifie « grande joie » et si certains peuvent se demander où est la joie grande de savoir tout ça, j’ai envie de leur rétorquer qu’il n’y a pas de petit plaisir et que la culture même mathématique peut procurer des jouissances parfois insoupçonnées. (C’est moi qui dis ça ?)

Enfin, si on le regarde au travers du prisme de l’arithmétique géométrique, douze est un  nombre oblong ou pronique voire hétéromécique, c’est-à-dire que c’est le produit de deux entiers naturels consécutifs. Je ne vais pas donner d’exemple au sujet de douze car, d’abord, je ne suis pas sûr d’avoir bien compris ce que j’ai écrit et ensuite, parce que ça vous laissera le loisir de le faire pour voir si vous, vous avez bien compris.

Ceci nous amène au fait qu’en mathématiques, douze est un nombre de Pell ou nombre de Pell compagnon  ou encore Pell-Lucas car il est constitué de deux suites d’entiers. Je ne vais pas m’étendre sur le sujet même si Pell est sans doute un bon compagnon.

Je voudrais juste terminer cet exposé scientifique de haute tenue par une notion importante : 12 est la superfactorielle de 3. Ce sont Neil Sloane (rien à voir avec le principe de Peter) et Simon Plouffe (c’est son vrai nom ?) qui, en 1995, ont défini la superfactorielle comme le produit des n premières factorielles. Bon, moi, je n’arrive pas à faire le calcul mais comme j’ai beaucoup donné pour expliquer tout ça, en long, en large et en travers, je laisse la main à ceux qui sauront me l’expliquer. Moi, je n’ai jamais aimé les maths. En tout cas, il y a douze paragraphes dans ce billet et ça, je ne l’ai (presque) pas fait exprès.